Employee stock options black scholes model

Usando Black-Scholes para colocar um valor nas opções de ações (LifeWire) - Durante anos, as empresas que pagaram opções de compra de ações poderiam evitar deduzir o custo dessas opções como uma despesa. As regras mudaram em 2005, quando o setor de contabilidade atualizou suas diretrizes sobre pagamentos baseados em compartilhamento, em uma regra chamada FAS 123 (R). Hoje, as empresas geralmente escolhem entre um dos dois métodos para avaliar o custo de oferecer a um empregado uma opção de estoque: um modelo de Black-Scholes ou um modelo de rede. Seja qual for a escolha, eles devem deduzir a despesa de opções de seus lucros, reduzindo os ganhos por ação. O modelo Black-Scholes é uma fórmula vencedora do Prêmio Nobel que pode determinar o valor teórico de uma opção com base em uma série de variáveis. Como as opções concedem aos empregados réplicas de opções negociadas em bolsa, as regras de Black-Scholes exigem alguma modificação para opções de funcionários. A equação dos modelos é complexa, mas as variáveis ​​são simples de entender. Eles também são úteis na determinação das conseqüências do investimento em empresas cujas ações possuem maior volatilidade. Para ver se uma empresa usa o Black-Scholes para valorar suas opções e os pressupostos que faz sobre as opções, verifique seu último relatório trimestral 10-Q no site da Securities and Exchange Commission. Por que as opções são difíceis de valor Quando uma empresa dá um bônus em dinheiro de 1 milhão ao diretor-presidente, o custo é claro. Mas, quando dá ao CEO o direito de comprar um milhão de ações em 25 por ação em algum momento no futuro, o custo não é fácil de figurar. Por exemplo, a opção pode tornar-se inútil se o estoque nunca subir acima de 25 durante o tempo que a opção for válida. Black-Scholes pode determinar o custo teórico da opção na data em que é emitido para o empregado. Três fatores geralmente afetam o preço de uma opção sob Black-Scholes, de acordo com o Options Industry Council, um grupo comercial: o valor intrínseco das opções. A probabilidade de uma mudança significativa no estoque. O custo do dinheiro, ou as taxas de juros. O modelo de precificação de Black-Scholes considera o preço atual de uma ação e o preço-alvo como duas variáveis ​​críticas ao colocar um preço em uma opção. Uma opção de compra, você pode se lembrar, dá ao titular o direito de comprar um estoque a um preço-alvo fixo dentro de um período de tempo especificado, não importa o quão alto o estoque subisse. Considere duas opções de compra no mesmo 10 ações - uma com um preço-alvo de 12 e uma com um preço-alvo de 15. Um investidor pagaria mais pela opção com um preço-alvo de 12, pois as ações precisariam aumentar apenas 2,01 para A opção de se tornar valiosa, ou no dinheiro. Observe que esses fatores geralmente são menos significativos para opções de estoque de empregados. Isso porque as empresas geralmente emitem opções de funcionários com um preço-alvo idêntico ao preço de mercado no dia da emissão das opções. Probabilidade de mudança significativa: o tempo até a opção expirar No modelo Black-Scholes, uma opção com uma vida útil mais longa é mais valiosa do que uma opção idêntica que expira mais cedo. Isso faz sentido lógico: com mais tempo para trocar, um estoque tem uma chance maior de superar seu preço-alvo. Para ilustrar, considere duas opções de chamadas idênticas em ações da ABT Corp. e assumir que atualmente é negociada por 37 partes. A opção que expira em novembro tem quatro meses adicionais para aumentar acima de 43, por isso será mais valioso do que uma opção de julho idêntica. As opções de estoque de empregados muitas vezes expiram muitos anos na estrada, às vezes uma década depois. Mas os funcionários muitas vezes exercitam opções muito antes de expirarem. Como resultado, as empresas não precisam assumir que a opção será exercida no último dia de validade. Ao calcular o custo de uma opção, as empresas geralmente assumirão um período mais curto - digamos, quatro anos para uma opção de 10 anos. Faz sentido por que eles queriam fazer isso: sob Black-Scholes, termos mais curtos reduzem o valor de uma opção e, assim, reduzem o custo da concessão de opções para a empresa. Probabilidade de mudança significativa: volatilidade com Black-Scholes, a volatilidade é dourada. Considere duas empresas, a Boring Story Inc. e a Wild Child Corp., que ambas acontecem ao comércio por 25 partes. Agora, considere uma opção de 30 chamadas nesses estoques. Para que essas opções se tornem no dinheiro, as ações precisarão aumentar em 5 antes da expiração da opção. Do ponto de vista dos investidores, a opção "Criança Selvagem" - que flui no mercado - seria, naturalmente, mais valiosa do que a opção na história chata, que históricamente mudou muito pouco para o dia. Existem várias maneiras de medir a volatilidade, mas todos eles visam mostrar uma tendência de estoque para subir e cair. A implicação para os investidores é que as empresas cujos preços das ações são mais voláteis pagarão um preço mais alto para emitir opções aos empregados. Taxas de juros mais elevadas aumentam o valor de uma opção de compra, aumentando o custo de emissão de opções de ações para os funcionários. Quando o Federal Reserve aumenta as taxas de juros, isso tende a tornar as opções de ações mais caras para as empresas. As taxas afetam os preços das opções devido à importância do valor do tempo em dinheiro nas opções. Considere uma pessoa comprando opções para 100 ações da ManyPenny Inc. com um preço-alvo de 20. O investidor pode pagar apenas um pequeno montante para a opção, mas pode reservar 2.000 para cobrir o eventual custo de exercer a opção e comprar as 100 ações da estoque. Quando as taxas de juros aumentam, o comprador das opções pode ganhar mais interesse nessa reserva de 2.000. Como resultado, quando as taxas de juros são mais altas, os compradores de opções de compra geralmente estão dispostos a pagar mais por uma opção. Para mais informações O Financial Accounting Standards Board, um conselho independente que estabelece procedimentos contábeis padrão, fornece uma declaração on-line sobre sua regra FAS 123 (R). Que diz respeito ao preço das opções de compra de ações dos empregados e outra remuneração baseada em ações. O Conselho de Indústria de Opções oferece um tutorial on-line sobre preços de opções. A Real Academia Sueca de Ciências publica sua citação a partir de 1997, quando concedeu o Prêmio Nobel de Economia a Robert C. Merton e Myron S. Scholes, que, em colaboração com o falecido Fischer Black, desenvolveram o modelo de previsão da opção Black-Scholes. Como o Excel na Avaliação de Opções Nota: Este artigo usa um exemplo simplificado para ilustrar como funciona um modelo de rede. Nas exposições, o termo da opção é apenas quatro anos, muito menor do que a vida de 10 anos de uma típica opção de estoque de empregado. Então, na prática, os cálculos serão mais amplos do que nessas exposições e as empresas podem ter que dividir o período de tempo em intervalos adicionais. A orientação do FASB é clara: as empresas devem determinar e reportar o valor justo das opções de ações que eles usam para compensar os funcionários. Mas porque as opções de ações dos empregados não podem ser negociadas publicamente, seu valor justo não está prontamente disponível e deve ser estimado usando modelos de opções de preços. FASB Statement no. 123 (R), pagamento baseado em compartilhamento (fasb. orgpdffas123r. pdf), permite que as entidades usem qualquer modelo de avaliação que se baseie em princípios estabelecidos da teoria econômica financeira e reflete todas as características substantivas das opções. Ambos os modelos Black-Scholes-Merton e treliça cumprem esses critérios. A simplicidade relativa dos formadores torna popular entre as empresas mais pequenas, mas pode não ser adequado para empresas públicas cujos funcionários freqüentemente exercem suas opções com antecedência. Isso exige cálculos de um modelo de rede capaz de acomodar melhor. (Para mais informações, veja Comparar e Contraste.) Neil J. Beaton, CPAABV, parceiro encarregado dos serviços de avaliação em Grant Thornton LLP em Seattle, disse que sua empresa realizou inúmeros compromissos relacionados ao FASB Statement no. 123 (R) e encontrou um modelo de rede para ser substancialmente mais flexível do que um modelo de Black-Scholes, especialmente em relação a nuances restritas de opções de estoque de funcionários, tais como aquisição, exercícios iniciais e períodos de blackout. Uma vez que construímos nosso modelo de rede inicial, ele disse que, conformando-o aos requisitos amplamente variáveis ​​de nossa base de clientes diversificada, foi bastante fácil e produziu resultados mais precisos do que seria possível com um modelo Black-Scholes sozinho. Compare e contraste O modelo Black-Scholes-Merton foi desenvolvido para a avaliação de opções negociadas em bolsa. É o modelo de avaliação de forma fechada mais comumente usado. É adequado para empresas que não concedem muitas opções de compra de ações. Facilita a comparação dos resultados financeiros de diferentes empresas que o utilizam. É mais simples de aplicar do que um modelo de rede porque é uma equação definida. Não é possível acomodar dados que descrevem planos de opções de ações de empregados exclusivos. Não permite que você varie os pressupostos ao longo do tempo. Assume que as opções são exercidas no vencimento. Usa médias ponderadas estimadas para a volatilidade esperada, a taxa de dividendos e a taxa livre de risco, que ela assume são constantes durante o prazo da opção. (Esses pesos, calculados fora do modelo, são baseados na experiência passada da empresa. Se nenhum desses dados existirem, a empresa segue as orientações no Boletim Contábil da Secretaria SEC nº 107 (sec. govinterpsaccountsab107.pdf).) Usa as opções estimadas Média média ponderada do que o prazo para considerar a possibilidade de exercícios antecipados ao calcular o valor justo das opções. Modelo de estrutura é mais complexo que o modelo Black-Scholes. Fornece mais flexibilidade para as empresas que concedem muitas opções de compra de ações. Requer pessoal com conhecimentos técnicos consideráveis. Pode acomodar pressupostos relacionados às características únicas das opções de estoque de empregados. Pode acomodar pressupostos que variam ao longo do tempo. Pode levar a estimativas mais precisas da despesa de compensação de opção. É flexível o suficiente para calcular os efeitos das mudanças nos fatores de volatilidade, taxas de juros livres de risco, dividendos e estimativas do exercício antecipado esperado durante o período de opções. Requer análise de dados para desenvolver seus pressupostos. Requer programação interna ou software de terceiros. Pode ser o único modelo apropriado em algumas circunstâncias, por exemplo, quando um exercício de opções é desencadeado por um aumento especificado no preço do estoque subjacente. Mas mesmo que os empregadores saibam qual modelo de avaliação funciona melhor para eles, eles ainda podem ter dúvidas sobre como construí-lo. Um artigo anterior da JofA (ver Não há mais uma opção, JofA. Apr.05, página 63) explicou o funcionamento do modelo Black-Scholes-Merton. Este artigo de meses fornece instruções detalhadas para a construção de um modelo de rede, fazendo os cálculos necessários no Excel. Uma empresa que escolheu implementar esse modelo é Scotts Co., fabricante da Marysville, Ohio, fabricante de produtos hortícolas. Seu CFO, Chris Nagel, CPA, disse ao JofA no artigo de abril sobre Black-Scholes que ele preferia o modelo de rede por causa de sua capacidade excepcional de capturar pressupostos sobre o prazo e a volatilidade das opções. Nós adotamos Black-Scholes, mas agora acreditamos que um modelo de rede é apropriado para avaliar opções, disse Nagel. Para avaliar opções, você deve fazer suposições sobre o termo provável e a volatilidade, e eu acho que um modelo de rede capta essas variáveis ​​melhor. Como o modelo de rede facilita a variação de suposições e insumos ao longo do tempo, as entidades que concedem muitas opções de estoque para seus funcionários preferem sua flexibilidade para as restrições relativamente rígidas do modelo Black-Scholes-Merton, que é mais adequado para empresas Cuja remuneração dos funcionários inclui poucas opções de compra de ações. Um modelo de rede pode ser complexo para uma empresa implementar, no entanto. Felizmente, eu não sou a única pessoa que tem que cortar os números, disse Nagel. Mas e se, na sua empresa, você é o CPA que desempenha essa função. Se for esse o caso, siga os exemplos abaixo que ilustram a estrutura e as funções de um modelo de rede. O BASICS Um modelo de rede assume que o preço do estoque subjacente a uma opção segue uma distribuição binomial, um tipo de distribuição de probabilidade em que o evento subjacente possui apenas um dos dois possíveis resultados. Por exemplo, com relação a uma parcela de estoque, o preço pode subir ou diminuir. Começando em um ponto bem tempo de chamada zero zero. O pressuposto de movimentos ascendentes ou descendentes ao longo de vários períodos sucessivos cria uma distribuição de preços de ações possíveis. Esta distribuição de preços é referida como uma rede. Ou árvore. Por causa do padrão de linhas usadas para ilustrar graficamente. O modelo de rede usa essa distribuição de preços para calcular o valor justo da opção. A Figura 1 (abaixo) ilustra uma árvore de estoque-preço do Excel com base nos seguintes pressupostos: Preço atual das ações de 30. Taxa de juros sem risco de 3. Rendimento de dividendos esperado de 0. Volatilidade do preço de ações de 30. Preço de exercício da opção de 30 Período de opção de quatro anos. Na data da concessão, ano 0, o preço das ações é de 30 (célula B7). O modelo pressupõe que os preços das ações aumentarão com a taxa de juros sem risco (B15) menos o rendimento de dividendos esperado (B16), mais ou menos a volatilidade do preço (B12) assumida para o estoque. Assim, durante o ano 1, o preço das ações aumenta pela taxa livre de risco, 3 não é afetado pelo rendimento esperado de dividendos esperado 0 e, em seguida, aumenta ou diminui em 30 devido à volatilidade esperada. A fórmula para a célula E12, o caminho ascendente do ano 1, é D21 (1B15B16) (1B12). Para o caminho descendente, a fórmula para E29 é D21 (1B15B16) (1B12). Os dois resultados possíveis para o preço das ações no final do ano 1 são um aumento para 40,17 (E12) ou uma diminuição para 21,63 (E29). Na terminologia de rede estas duas possibilidades são referidas como nós. Duas possibilidades semelhantes para o final do ano 2 emanam de cada um dos nós do ano 1. Com o número de nós dobrando em cada período de tempo sucessivo, a árvore cresce para 16 nós após quatro anos. A Figura 1 também contém as probabilidades para cada nó na árvore. Por exemplo, no final do ano 2, o preço das ações de 53,79 (F8) tem uma probabilidade de 0,25 (F9), que é a probabilidade de dois movimentos de preços ascendentes sucessivos. Com uma probabilidade de 0,50 que o preço aumentará em qualquer ano, a probabilidade de dois movimentos ascendentes sucessivos é de 0,25 (F9). Na verdade, dois nós refletem um preço de estoque de 28,96 no final do ano 2 (F16 e F25). F16 representa o resultado de um movimento ascendente no preço no ano 1, seguido de um movimento descendente no ano 2 F25 reflete um movimento de preços descendentes no ano 1 seguido de um movimento ascendente no ano 2. Similar à probabilidade de dois períodos sucessivos de preço ascendente Movimento, as probabilidades para F17 e F26 são 0,25. A probabilidade (isto é, 0,0625) para cada nó terminal (coluna H) corresponde a quatro movimentos sucessivos no preço das ações. Conheça as opções Ao contrário das opções de ações que são negociadas em uma troca, as opções de ações dos empregados podem ser exercidas, mas não vendidas ou transferidas. Não pode ser exercido durante períodos de blackout, que as empresas tipicamente declaram imediatamente antes de liberar seus ganhos ou outras vezes para proibir as compras de funcionários ou as vendas de ações ou opções da empresa. N Normalmente tem termos de 10 anos, em contraste com a maioria das opções de opções negociadas de menos de um ano. N São sujeitos a períodos de aquisição de até quatro anos, durante os quais as opções não podem ser exercidas, e são perdidas por aqueles que deixam a empresa antes de serem adquiridos. Muitas vezes são exercidas antecipadamente por razões como divórcio, separação de serviço ou necessidade financeira. CARREGUE O CRUNCHING Depois de desenvolver uma árvore de ações, o próximo passo é calcular o valor intrínseco da opção em cada nó terminal, subtraindo o preço de exercício das opções (B8) do preço da ação nesse nó. Se o preço da ação na data de validade das opções exceder o preço de exercício, a opção é dito ter valor intrínseco e as opções são assumidas como sendo exercidas. Caso contrário, a opção não tem valor intrínseco. Figura 2. abaixo, apresenta um modelo de Excel que calcula o valor justo das opções. As colunas J a M são adicionadas para exibir a árvore de preços das ações da 1 (escondida aqui por simplicidade). Este exemplo pressupõe que os titulares de opções não exercerão suas opções com antecedência. As linhas 5 a 20 representam os 16 nós terminais da coluna H na exibição 1. Na coluna K, os valores intrínsecos da opção nos nós correspondentes são computados usando instruções Excel IF para determinar se os preços das ações nesses nós excedem o preço de exercício das opções. Por exemplo, a fórmula da célula K5s é IF (H5gtB8, H5B8,0). Essa fórmula calcula e exibe o valor intrínseco das opções, 66.44, o valor pelo qual o preço do estoque terminal excede o preço de exercício do trajeto refletindo quatro movimentos sucessivos de preços ascendentes. A coluna K mostra que a opção está no dinheiro ou tem valor intrínseco em K5, K6, K7, K9 e K13 dos 16 nós terminais. Na coluna M, os valores intrínsecos da opção são multiplicados pelas suas respectivas probabilidades (coluna L). Em seguida, o valor presente de cada um é determinado usando a taxa de juros livre de risco (B15). A fórmula na célula M5, PV (B15, J5,, K5L5) calcula o valor presente do valor intrínseco ponderado de probabilidade para o nó terminal mais alto (H5) na exibição 1. (Nota dos editores: Normalmente a função PV Excels retorna um negativo Porque o Excel considera que o valor presente é a saída necessária para pagar entradas futuras. Para evitar qualquer confusão, a declaração PV da célula M5 começa com um sinal negativo e, portanto, expressa o valor presente como positivo.) Assim, o valor presente de 3,669 representa o valor presente 66,44 valor intrínseco ponderado pela sua probabilidade de 0.0625 e descontado a uma taxa de 3 por quatro anos. As fórmulas correspondentes nas células M6 a M20 calculam o valor intrínseco para cada um dos outros 15 nós terminais na coluna H da exibição 1. O somatório (M22) da coluna M, 8.56, é o valor justo das opções e a quantidade de despesa a ser reconhecida . Uma aplicação mais completa do modelo de rede permitirá que as CPA considerem mudanças no preço das ações e outros fatores, pelo menos uma vez por semana. MAIS DO QUE OS BÁSICOS O modelo de rede possui uma vantagem fundamental em relação à sua contrapartida Black-Scholes-Merton que oferece aos CPA várias maneiras de incorporar pressupostos sobre o pré-exercício das opções. Uma abordagem, demonstrada na Declaração FASB no. 123 (R), assume que as opções serão exercidas se o preço da ação atingir um múltiplo selecionado do preço de exercício. A Figura 3. abaixo ilustra essa abordagem usando um fator de exercício inicial 2.0 (célula B9) que assume que todas as opções serão exercidas para nós de pré-terminação nos anos 3 ou anteriores, se o preço da ação atingir 60double o preço de exercício 30. Com todos os outros pressupostos sendo mantidos constantes na exibição 3. a árvore de estoque-preço apresentada na exposição 1 permanece válida. Note-se que o preço das ações atinge 60 antes do vencimento apenas no caminho (célula G6 na exibição 1) que representa três anos sucessivos de movimentos ascendentes de preços. Na exposição 3, as opções são assumidas exercendo com um ganho para o empregado de 42.02 (K13) a diferença entre o preço das ações do ano 3 72.02 (G6 na exibição 1) e o preço de exercício 30 (B8). Quando o exercício inicial é considerado, cada nó na árvore de preços de ações deve ser examinado para determinar se as opções serão exercidas antecipadamente. Assim, a exibição 3 contém 30 rowsone para cada nó na árvore da exibição 1. A fórmula na célula L13, IF (AND (G6gt5 (B8B9), L50, L80), 0,5J13,0), examina se o preço das ações da célula G6 na árvore da exibição 1 é igual ou superior ao múltiplo do exercício inicial. Se o preço das ações atender a este critério e o exercício antecipado não ocorreu em períodos anteriores, a probabilidade (G7) deste nó da exibição 1 é multiplicada pelo valor intrínseco das opções (K13) e descontado pela taxa de juros livre de risco (B15) para Determine os caminhos do valor presente (M13). Como o múltiplo do preço de exercício não é cumprido para outros nós de pré-terminação, uma probabilidade de zero é especificada nas células L5 a L6, L8 a L11 e L14 a L20. Dos 16 nós de terminação potenciais na exibição 1. Os dois primeiros (H5 e H7) são exercidos no início do ano 3. Uma vez que não são notáveis ​​no ano 4, suas células correspondentes na exibição 3 (L22 e L23) têm uma probabilidade de zero. No ano 4, os valores intrínsecos para os 14 caminhos não truncados anteriormente são ponderados de probabilidade e descontados para determinar seus valores atuais (ou seja, a probabilidade é multiplicada pelo valor intrínseco das opções e descontada pela taxa de juros livre de risco para determinar os caminhos valor presente). O total dos valores presentes de todos os caminhos potenciais individuais (M13 e M24 a M37) é o valor justo das opções, 8.46. Um modelo de rede também pode acomodar expectativas adicionais sobre quando e até que ponto os funcionários exercem suas opções. Por exemplo, em vez de assumir que todas as opções são exercidas se o preço da ação atingir um múltiplo selecionado do preço de exercício, um modelo de rede também pode permitir a suposição de que apenas uma certa porcentagem das opções pendentes são exercidas. MEDIANDO A PROXENTIBILIDADE Outro benefício do modelo de rede é que ele pode acomodar pressupostos que variam ao longo do tempo. A Figura 4. abaixo, apresenta uma planta de estoque-preço que assume que a volatilidade dos estoques diminui de 30 para 24 em relação às opções de quatro anos de vida. A Figura 4 mostra como especificar fatores de volatilidade individuais para cada ano do termo de opções (células B12 a B15). O impacto de diminuir a volatilidade dos estoques nos anos posteriores é evidente no ramo superior das árvores. Após quatro períodos sucessivos de aumento de preço de estoque, o preço das ações na célula H5 (87,78) é menor do que é (96,44) na célula correspondente da exibição 1. As volatilidades mais baixas reduziram a magnitude dos aumentos de preços das ações na ramificação superior . Um efeito de temperagem semelhante pode ser visto na célula H36 no ramo inferior, onde o preço das ações na exibição 4 (9.57) é maior do que na exibição 1 (8.11). Quanto menor a volatilidade, menor o valor justo das opções. CHARLES P. BARIL é professor e LUIS BETANCOURT, CPA e JOHN W. BRIGGS são professores assistentes da Escola de Contabilidade de James Madison University em Harrisonburg, Virginia. Seus respectivos endereços de e-mail são barilcpjmu. edu, betanclxjmu. ed u e briggsjwjmu. edu. Contabilidade CPE para opções de estoque e outras compensações baseadas em ações (livro de texto, 732087JA). Infobytes: opções de ações e outras contas de compensação baseada em ações (cursos on-line): considerações de auditoria. Divulgações. Considerações não públicas da empresa. Medindo o pagamento baseado em compartilhamento. História e Resumo do FASB 123 (R). Para obter informações sobre Infobytes, consulte o número do produto. BYTXX12JA em cpa2bizinfobytes. Avaliação de investimento de publicação: ferramentas e técnicas para determinar o valor de qualquer recurso, 2ª edição (capa dura, WI414883P0200DJA). Para obter mais informações sobre esses recursos ou para fazer um pedido, acesse o cpa2biz ou ligue para o Instituto no 888-777-7077.ESOs: Usando o Modelo de Black-Scholes, as empresas precisam usar um modelo de preço de opções para pagar o valor justo De suas opções de estoque de empregados (ESOs). Aqui mostramos como as empresas produzem essas estimativas de acordo com as regras vigentes a partir de abril de 2004. Uma opção tem um valor mínimo Quando concedido, um ESO típico tem valor de tempo, mas sem valor intrínseco. Mas a opção vale mais do que nada. O valor mínimo é o preço mínimo que alguém estaria disposto a pagar pela opção. É o valor defendido por duas propostas de legislação (as contas do Congresso Enzi-Reid e Baker-Eshoo). É também o valor que as empresas privadas podem usar para valorar seus subsídios. Se você usar zero como a entrada de volatilidade no modelo Black-Scholes, você obtém o valor mínimo. As empresas privadas podem usar o valor mínimo porque não possuem histórico comercial, o que torna difícil medir a volatilidade. Legisladores gostam do valor mínimo porque remove a volatilidade - uma fonte de grande controvérsia - da equação. A comunidade de alta tecnologia, em particular, tenta minar o Black-Scholes argumentando que a volatilidade não é confiável. Infelizmente, a remoção da volatilidade cria comparações injustas porque remove todos os riscos. Por exemplo, uma opção 50 no estoque Wal-Mart tem o mesmo valor mínimo que uma opção 50 em um estoque de alta tecnologia. O valor mínimo pressupõe que o estoque deve crescer pelo menos a taxa sem risco (por exemplo, o rendimento do Tesouro de cinco ou 10 anos). Nós ilustramos a idéia abaixo, examinando uma opção de 30 com um prazo de 10 anos e uma taxa sem risco (e sem dividendos): você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas: (1) cresce o estoque em A taxa livre de risco para o termo completo, (2) assume um exercício e (3) descontos o ganho futuro para o valor presente com a mesma taxa livre de risco. Calculando o Valor Mínimo Se esperamos que um estoque atinja pelo menos um retorno sem risco sob o método do valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção (como o detentor das opções renuncia a dividendos). Dito de outra forma, se assumirmos uma taxa sem risco para o retorno total, mas alguns dos vazamentos de retorno para dividendos, a valorização esperada do preço será menor. O modelo reflete essa menor valorização ao reduzir o preço das ações. Nas duas exposições abaixo, derivamos a fórmula de valor mínimo. O primeiro mostra como chegamos a um valor mínimo para uma ação que não paga dividendos, o segundo substitui um preço de ações reduzidas pela mesma equação para refletir o efeito de redução de dividendos. Aqui está a fórmula de valor mínimo para um estoque de dividendos: preço de ações de s e constante de Eulers (2.718) d rendimento de dividendo t termo de opção k exercício (strike) preço r taxa de risco não se preocupe com a constante e (2.718) é Apenas uma maneira de compor e descontar continuamente em vez de compor em intervalos anuais. Volatilidade do Valor Mínimo de Black-Scholes Podemos entender o Black-Scholes como sendo igual ao valor mínimo de opções mais valor adicional para a volatilidade das opções: quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional. Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função inclinada para cima do termo da opção. A volatilidade é um aumento na linha de valor mínimo. Aqueles que estão inclinados matematicamente podem preferir entender o Black-Scholes como tomando a fórmula de valor mínimo que já revisamos e adicionando dois fatores de volatilidade (N1 e N2). Juntos, estes aumentam o valor dependendo do grau de volatilidade. Black-Scholes deve ser ajustado para ESOs Black-Scholes estima o valor justo de uma opção. É um modelo teórico que faz vários pressupostos, incluindo a capacidade comercial total da opção (ou seja, a medida em que a opção pode ser exercida ou vendida nos titulares das opções) e uma volatilidade constante ao longo da vida das opções. Se os pressupostos forem corretos, o modelo é uma prova matemática e sua saída de preço deve estar correta. Mas, estritamente falando, os pressupostos provavelmente não estão corretos. Por exemplo, exige que os preços das ações se movam em um caminho chamado movimento browniano - uma caminhada aleatória fascinante que realmente é observada em partículas microscópicas. Muitos estudos discutem que os estoques se movem dessa maneira. Outros pensam que o movimento Brownian aproxima-se o bastante, e considera o Black-Scholes uma estimativa imprecisa, mas útil. Para opções negociadas de curto prazo, o Black-Scholes tem sido extremamente bem sucedido em muitos testes empíricos que comparam a produção de preços com os preços de mercado observados. Existem três diferenças principais entre os ESOs e as opções negociadas de curto prazo (que estão resumidas na tabela abaixo). Tecnicamente, cada uma dessas diferenças viola uma suposição de Black-Scholes - um fato contemplado pelas regras contábeis no FAS 123. Isso incluiu dois ajustes ou correções para o produto natural dos modelos, mas a terceira diferença - que a volatilidade não pode manter-se constante ao longo do tempo invulgarmente longo Vida de um ESO - não foi abordada. Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão vigentes a partir de março de 2004. A correção mais significativa nas regras atuais é que as empresas podem usar a vida esperada no modelo em vez do termo completo real. É típico que uma empresa use uma vida esperada de quatro a seis anos para avaliar as opções com termos de 10 anos. Esta é uma solução estranha - um band-aid, realmente - uma vez que Black-Scholes exige o termo atual. Mas o FASB estava procurando uma maneira quase objetiva de reduzir o valor do ESO, uma vez que não é negociado (isto é, desconsiderar o valor do ESO por sua falta de liquidez). Conclusão - Efeitos Práticos O Black-Scholes é sensível a várias variáveis, mas se assumirmos uma opção de 10 anos em um estoque de dividendos e uma taxa sem risco de 5, o valor mínimo (não assume volatilidade) nos dá 30 Do preço das ações. Se adicionarmos a volatilidade esperada de, digamos, 50, o valor da opção quase dobra quase 60 do preço das ações. Então, para esta opção particular, a Black-Scholes nos dá 60 de preço das ações. Mas quando aplicado a um ESO, uma empresa pode reduzir a entrada real de 10 anos para uma vida esperada mais curta. Para o exemplo acima, reduzir o prazo de 10 anos para uma vida esperada de cinco anos traz o valor até cerca de 45 de valor nominal (e uma redução de pelo menos 10-20 é típica ao reduzir o prazo para a vida esperada). Finalmente, a empresa consegue fazer uma redução no corte de cabelo em antecipação a confisco devido à rotatividade de funcionários. A este respeito, um corte de cabelo adicional de 5-15 seria comum. Então, em nosso exemplo, o 45 seria ainda mais reduzido a uma despesa de cerca de 30-40 do preço das ações. Depois de adicionar a volatilidade e, em seguida, subtrair-se por um prazo de vida esperado reduzido e confisco esperado, estamos quase de volta ao valor mínimo ESOs: usando o modelo binomial